VI ангийн сурагчдад энгийн бутархайн үйлдлүүд сэдвийн хичээл орж байгаа багш самбарт дараах бодлогийг бичжээ.

Бодлого 1. Дараах илэрхийллийн утгыг ол.

$$2\dfrac1{11}\cdot2\dfrac{12}{13}+1\dfrac2{11}\cdot2\dfrac1{13}+\dfrac{10}{11}\cdot7\dfrac1{13}$$ VI ангийн сурагчид энэ бодлогийн үйлдэл бүрийг нямбай гүйцэтгэж (мэдээж нилээд цаг шаардана) хариуг гаргасан байна.

Харин багш хүүхдүүдийн эцсийн хариуг зөв гаргасан эсэхийг шалгахын тулд тэдэнтэй аидл олон үйлдэл хийх шаардлагатай юу?

Багш хичээлийн явцыг хянаж, ажиглаж байх шаардлагатай болохоор тэгж цаас балтай ноцолдож суух зав хомс байх нь ойлгомжтой. Иймд тэрээр аль болох хурдан, хялбар бодохын тулд алгебрийн арга ашиглав.

Багшийн бодолт. $a=\dfrac1{11},\ b=\dfrac1{13}$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл өгөгдсөн илэрхийлэл $$(2+a)(3-b)+(1+2a)(2+b)+$$ $$+(1-a)(7+b)=6-2b+3a-ab+$$ $$+2+b+4a+2ab+$$$$+7+b-7a-ab=15.$$ Хариу $15$. Одоо багш хүүхдүүдийн бодолтын эцсийн хариуг хараад зөв бурууг нь шууд хэлж чадахаар боллоо. Дараагийн цаг IX ангид орох байлаа. Хичээлийн сэдэв нь "алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах бататгал" байв. Багш самбар дээр дахиад Бодлого 1-г бичиж өгөв.

Нэг сурагч багшаас яагад ийм өөр төрлийн арифметик бодлого бодуулж байгааг асуухад багш "Та бүхэн аль 6-р ангид үзэж байсан тоон илэрхийллийн утга олох бодлогоо ахиад нэг дараа нь үндсэн сэдэвтээ ороё" гэж хэлжээ. IX ангийн сурагчид VI ангийн сурагчдаас удаан бодсон. Гэхдээ тэд энгийн бутархайн үйлдлийн мэддэг байсан чанаруудаа эргэж санасан нь ойлгомжтой. Дараа нь багш өөрийнхөө бодолтыг тайлбарлаж өгчээ. Ийм хоёр хичээл нэг өдөр болж өнгөрсөн ажээ. Бид арифметикийн илэрхийлэлтэй зарим бодлогийг алгебрийн аргаар хэрхэн бодох талаар авч үзнэ. Эхлээд хэдэн жишээ бодлого, залгуулаад бие дааж бодох бодлого дасгалуудаас өгүүлэл маань тогтоно. Хэрхэн яаж хичээл, сургалтандаа ашиглахыг уншигч багш, сурагчид маань өөрсдөө шийднэ буйзаа.

Бодлого 2. $\dfrac{10^{2019}+1}{10^{2020}+1}$ ба $\dfrac{10^{2020}+1}{10^{2021}+1}$ тоонуудыг жиш.

Бодолт. $10^{2019}=a$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл өгөгдсөн тоонууд $$\dfrac{a+1}{10a+1}\mbox{ ба }\dfrac{10a+1}{100a+1}$$болно. Энэ хоёр тоог жиших нь $$(a+1)(100a+1)\mbox{ ба }(10a+1)^2$$тоонуудыг жишихтэй адил. $$(a+1)(100a+1)-(10a+1)^2=$$ $$=81a=81\cdot10^{2019}>0$$ учрааc анх өгөгдсөн бутархайнуудын эхнийх нь хоёрдохоосоо их.

Бодлого 3. $16,\ 1156,\ 111556,\ 11115556,...$ дарааллын гишүүн бүр натурал тооны квадрат (бүтэн квадрат) болохыг батал.

Бодолт. $10^n=a$ гэж тэмдэглэе. Дарааллын ерөнхий гишүүн $$\underbrace{11...1}_n\underbrace{55...5}_{n-1}6=$$ $$=\underbrace{11...1}_n\cdot10^n+5\cdot\underbrace{11...1}_n+1.$$ бөгөөд үүнийг $a$-аар үржүүлвэл $$\dfrac19(a-1)a+5\cdot\dfrac19(a-1)+1=$$ $$=\dfrac19\left((a-1)a+5(a-1)+9\right)=$$ $$=\dfrac19(a^2+4a+4)=\left(\dfrac{a+2}3\right)^2=$$ $$=\left(\dfrac{10^n+2}3\right)^2$$ болно. $10^n+2=1\underbrace{0...0}_{n-1}2$ бөгөөд $$1\underbrace{0...0}_{n-1}2:3=\underbrace{33...3}_{n-1}4.$$ Иймд дарааллын гишүүд $$4^2,\ 34^2,\ 334^2,\ 3334^2,...$$ гэсэн бүтэн квадратууд байна.

Бодлого 4. ${\underbrace{99...9}_{100}}^3$ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг ол.

Бодолт. $10^{100}=a$ гэж тэмдэглэе. $\underbrace{99...9}_{100}=10^{100}-1=a-1$. Иймд $${\underbrace{99...9}}^3=(a-1)^3=$$ $$=a^3-3a^2+3a-1=$$ $$=a^3-1-3a^2+3a=$$ $$=\underbrace{99...9}_{300}-3\underbrace{00...0}_{200}+3\underbrace{00...0}_{100}=$$ $$=\underbrace{99...9}_{99}7\underbrace{00...0}_{99}2\underbrace{99...9}_{100}$$ болох ба энэ тооны цифрүүдийн нийлбэр нь $$99\cdot9+7+2+100\cdot9=1800$$ болно.

Бодлого 5. $4^9+6^{10}+3^{20}$ бүтэн квадрат болохыг харуул.

Бодолт. $2^9=a,\ 3^{10}=b$ гэж тэмдэглэе. Өгөгдсөн илэрхийлэл $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=$$ $$=(2^9+3^{10})^2$$ бүтэн квадрат болно.

Бодлого 6. $A+B$ илэрхийллийг хялбарчил.

Бодолт. $a=3+\dfrac1{4+\dfrac1{5+\dfrac1{6+\dfrac1{...+\dfrac1{2019}}}}}$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл өгөгдсөн илэрхийлэл

$$\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1a}}+\dfrac1{2+\dfrac1a}=\dfrac1{1+\dfrac a{a+1}}+\dfrac a{2a+1}=$$ $$=\dfrac{1+x}{1+2x}+\dfrac x{2x+1}=1$$ болов.

$$\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1a}}+\dfrac1{2+\dfrac1a}=\dfrac1{1+\dfrac a{a+1}}+\dfrac a{2a+1}=$$ $$=\dfrac{1+x}{1+2x}+\dfrac x{2x+1}=1$$ болов.

Бодлого 7. Дараах илэрхийллийг хялбарчил.

$\dfrac13+\dfrac14+...\dfrac1{2019}=a$, $\dfrac12+...\dfrac1{2018}=b$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл өгөгдсөн илэрхийлэл

$$a(b+1)-(1+a)b=$$ $$=ab+a-ab-b=a-b=$$

$$=\dfrac13+\dfrac14+...+\dfrac1{2019}-\dfrac12-\dfrac13-...-\dfrac1{2018}=$$

$$=\dfrac13+\dfrac14+...+\dfrac1{2019}-\dfrac12-\dfrac13-...-\dfrac1{2018}=$$

$$=\dfrac1{2019}-\dfrac12=-\dfrac{2017}{4038}$$ болно.

Бодлого 8. $x^4-2\sqrt3x^2+x+3-\sqrt3=0$ тэгшитгэлийн бүх бодит шийдийг ол.

Бодолт. $a=\sqrt3$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл өгөгдсөн тэгшитгэл $$x^4-2ax^2+x+a^2-a=0$$ буюу $$a^2-(2x^2+1)a+x^4+x=0$$ гэсэн $a$-ийн хувьд квадрат тэгшитгэлд шилжнэ. Энэ тэгшитгэлийг $a$-ийн хувьд бодвол $$a=x^2+x\mbox{ ба }a=x^2-x+1$$ болох бөгөөд эндээс $$\left[\begin{array}{l} x^2+x-\sqrt3=0\\ x^2-x+1-\sqrt3=0 \end{array}\right.$$ тэгшитгэлүүд үүснэ. Эдгээрийг бодвол өгөгдсөн тэгшитгэл $$x_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4\sqrt3}}2,$$ $$x_{3,4}=\dfrac{1\pm\sqrt{4\sqrt3-3}}2$$ гэсэн $4$ бодит шийдтэй.

Бодлого 9. $4^{545}+545^4$ зохиомол тоо гэж харуул.

Бодолт. $a=545$, $b=4^{138}$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл $$4^{545}+545^4=4^a+4b^4$$ болох юм. $$a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2=$$ $$=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=$$ $$=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$$ болж үржигдэхүүнд задарна. (Энэ адилтгалыг Жермений адилтгал гэнэ). Иймд $$4^{545}+545^4=545^4+4\cdot(4^{138})^4=$$ $$=(545^2+2(4^{138})^2+2\cdot545\cdot4^{138})\cdot$$ $$\cdot(545^2+2(4^{138})^2-2\cdot545\cdot4^{138})$$ болж 1-ээс их 2 тооны үрэвэрт задрах ($a^2+b^2-2ab=(a-b)^2+b^2\ge b^2>1$) тул өгөгдсөн тоо зохиомол тоо болов. Эцэст нь дээрх жишээ бодлогуудын адил арифметикаас алгебр луу шилжих замаар хялбархан бодогдох олон дасгал бодлогуудыг хавсаргав.

1. Хялбарчил. $$\underbrace{88...8}_{100}\cdot\underbrace{33...3}_{100}-\underbrace{44...4}_{100}\cdot\underbrace{66...6}_{100}$$ $$2379\cdot23782378-2378\cdot23792379$$ $$3\dfrac1{117}\cdot4\dfrac1{119}-1\dfrac{116}{117}\cdot5\dfrac{118}{119}-\dfrac5{119}$$
2. Бутархайг хураа.
   $$\dfrac{1+\frac13+\frac19+\frac1{27}}{2+\frac23+\frac29+\frac2{27}}\cdot\dfrac{4-\frac47+\frac4{49}-\frac4{343}}{1-\frac17+\frac1{49}-\frac1{343}}$$
   $$\dfrac{3737373737}{8181818181}$$
   $$\dfrac{8+222\cdot444\cdot888+444\cdot888\cdot1776}{2\cdot4\cdot6+444\cdot888\cdot1776+888\cdot1776\cdot3552}$$ 
   $$\dfrac{8+222\cdot444\cdot888+444\cdot888\cdot1776}{2\cdot4\cdot6+444\cdot888\cdot1776+888\cdot1776\cdot3552}$$ $$\dfrac{1234567\overbrace{88...8}^{2000}7654321}{1234567\underbrace{99...9}_{1999}7654321}$$
3. Дараах тоонуудыг жиш. $$\dfrac{2019}{2021}\mbox{ ба }\dfrac{20192020}{20212023}$$ $$\dfrac12\cdot\dfrac34\cdot...\cdot\dfrac{99}{100}\mbox{ ба }\dfrac12$$
4. Дараах тоонуудыг эрэмбэл. $$a=\dfrac{1111110}{1111111},\ b=\dfrac{222221}{222223},$$ $$c=\dfrac{333331}{333334}$$
5. а) $1\underbrace{0...0}_n2\underbrace{0...0}_n1$ бүтэн квадрат гэж б) $1\underbrace{0...0}_n3\underbrace{0...0}_n3\underbrace{0...0}_n1$ бүтэн куб гэж тус тус батал.
6. Дараах тоонууд бүтэн квадрат болно гэж харуул. $$2019\cdot2020\cdot2021\cdot2022+1$$ $$2019\cdot2021\cdot2023\cdot2025+1$$ $$\underbrace{11...1}_{200}-\underbrace{22...2}_{100}$$ $$\underbrace{44...4}_{100}+\underbrace{11...1}_{51}-\underbrace{66...6}_{50}$$
7. Батал $$53\cdot83\cdot109+40\cdot66\cdot96\vdots139$$
   $$100007\cdot 1000131\cdot 100001+55\vdots100002$$
   $$100007\cdot 1000131\cdot 100001+55\vdots100002$$
8. $a=2^{1974}+2^{1000}-1$ байг. $$1\underbrace{00...0}_a1$$ зохиомол тоо гэж батал.
9. Хялбарчил. $$\dfrac{83^3+17^3}{83\cdot66+17^2}$$
   $$\dfrac{(4\cdot7+2)(6\cdot9+2)\cdot...\cdot(100\cdot103+2)} {(5\cdot8+2)(7\cdot10+2)\cdot...\cdot(99\cdot102+2)}$$
   $$\dfrac{(4\cdot7+2)(6\cdot9+2)\cdot...\cdot(100\cdot103+2)} {(5\cdot8+2)(7\cdot10+2)\cdot...\cdot(99\cdot102+2)}$$
   $$\dfrac{20092008^2}{20092007^2+20092009^2-2}$$
   $$3-\dfrac12-\dfrac16-\dfrac1{12}-\dfrac1{20}-\dfrac1{30}-\dfrac1{42}-\dfrac1{56}$$
   $$3-\dfrac12-\dfrac16-\dfrac1{12}-\dfrac1{20}-\dfrac1{30}-\dfrac1{42}-\dfrac1{56}$$
   $$\dfrac13+\dfrac1{15}+\dfrac1{35}+\dfrac1{63}+\dfrac1{99}+\dfrac1{143}$$ $$\dfrac{3^2+1}{3^2-1}+\dfrac{5^2+1}{5^2-1}+...+\dfrac{99^2+1}{99^2-1}$$
10. Тэгшитгэл бод. $$x^3(x+1)=2(x+\sqrt5)(x+2\sqrt3)$$
11. Зохиомол болохыг батал.$$2^{2^{2019}-2}+1$$
12. $3^{4^5}+4^{5^6}$ тоо аль нь ч $10^{2019}$-ээс их байдаг $2$ натурал тооны үржвэрт задрана гэж батал.