$\sin x=a,\ \cos x=a,\ \mbox{tg}x=a,\ \mbox{ctg}x=a$ тэгшитгэлүүдийг тригонометрийн хялбар тэгшитгэл гэнэ. Эдгээрийг бодож чаддаг болсноор хялбар бус тэгшитгэлүүдийг бодож чадах үндэс нь болно. Эхлээд $\sin x=a$ тэгшитгэлийг авч үзье.

• $\sin x=a$

$\sin x$ функцийн утгын муж $[-1;1]$ байх тул $a< -1$ эсвэл $a>1$ үед уг тэгшитгэл шийдгүй байх нь ойлгомжтой. Тэгэхээр, $-1\le a\le 1$ үед судалж үзье. $Oy$ тэнхлэгийн $a$ цэгт харгалзах тойргийн $A,\ B$ цэгүүд $\sin x=a$ тэгшитгэлийн шийд болох нь ойлгомжтой. Эдгээрээс $\left[-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right]$ завсарт агуулагдах цэгийг $\arcsin a$ (арксинус) гэж тэмдэглэнэ. $y=\arcsin x$ функцийг $y=\sin x$ функцийн урвуу функц гэх бөгөөд тодорхойлогдох муж нь $[-1;1]$, утгын муж нь $\left[-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right]$ байх нь харагдаж байна. Мөн, $A=\arcsin a$ гэдгээс $B=\pi-\arcsin a$ байхыг тригонометрийн нэгж тойрог хичээлээр үзсэн билээ.

Эндээс $\sin x=a$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь ($k\in\mathbb Z$) $$\left[\begin{array}{l} x=\arcsin a+2\pi k\\ x=\pi-\arcsin a+2\pi k \end{array}\right.$$ байна. Эдгээрийг дараах байдлаар эмхэтгээд $$\left[\begin{array}{l} x=\arcsin a+(2k)\pi\\ x=-\arcsin a+(2k+1)\pi \end{array}\right.$$ гэж бичвэл $(2k)\pi$ үед нэмэх, $(2k+1)\pi$ үед хасах тэмдэгтэй байгааг анзаараад $$x=(-1)^k\arcsin a+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$ гэж эмхтгэгдэнэ. Үүнийг $\sin x=a$ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд гэнэ. Ерөнхий шийдээр бодогдохгүй гурван тохиолдол байдаг бөгөөд тэдгээрийг онцгой тохиолдол гэнэ. Үүнд \begin{align*} \sin x=1&\Rightarrow x=\dfrac\pi2+2\pi k\\ \sin x=0&\Rightarrow x=\pi k\\ \sin x=-1&\Rightarrow x=-\dfrac\pi2+2\pi k \end{align*}

• $\cos x=a$

Дээрхтэй адилаар $-1\le a\le1$ үед шийдтэй байна. Косинусын утга хэвтээ тэнхлэг дээр гардаг тул $a$-г хэвтээ тэнхлэг дээр тэмдэглэвэл уг цэгт харгалзах тойргийн $A,\ B$ цэгүүд $\cos x=a$ тэгшитгэлийн шийд болно. Эдгээрээс $[0;\pi]$ завсарт харьяалагдах цэгийг $\arccos a$ гэж тэмдэглээд арккосинус гэнэ. $y=\arccos x$-г $y=\cos x$-н урвуу функц гэх бөгөөд тодорхойлогдох муж нь $[-1;1]$, утгын муж нь $\left[0;\pi\right]$ байх нь ойлгомжтой.

Дээрх дүгнэлтүүдээс $\cos x=a$ тэгшитгэлийн шийд нь $$\left[\begin{array}{l} x=\arccos a+2\pi k\\ x=-\arccos a+2\pi k \end{array}\right.\Rightarrow $$ $$\Rightarrow x=\pm\arccos a+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$ байна. Үүнийг $\cos x=a$ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд гэнэ. Энэ ерөнхий шийдээр бодогдохгүй гурван тохиолдол байх бөгөөд эдгээрийг онцгой тохиолдол гэдэг. \begin{align*} \cos x=1&\Rightarrow x=2\pi k\\ \cos x=0&\Rightarrow x=\dfrac\pi2+\pi k\\ \cos x=-1&\Rightarrow x=\pi+2\pi k \end{align*}

• $\mbox{tg}x=a$

$y=\mbox{tg}x$ функцийн утгын муж $(-\infty;\infty)$ байх тул $\mbox{tg}x=a$ тэгшитгэл үргэлж шийдтэй байна. $Oy$ тэнхлэгийн $a$ цэгийн $x=1$ шулуун дээрх проекцийг $O(0;0)$ цэгтэй холбоход тойрогтой огтлолцох $\left]-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right[$ завсарын цэгийг $\mbox{arctg} a$ гэж тэмдэглээд арктангенс гэнэ.

Тэгвэл $\mbox{tg}x=a$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $$x=\mbox{arctg} a+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$ байна.

• $\mbox{ctg}x=a$

$y=\mbox{ctg}x$ функцийн утгын муж $(-\infty;\infty)$ байх тул $\mbox{ctg}x=a$ тэгшитгэл үргэлж шийдтэй байна. $Ox$ тэнхлэгийн $a$ цэгийн $y=1$ шулуун дээрх проекцийг $O(0;0)$ цэгтэй холбоход тойрогтой огтлолцох $\left]0;\pi\right[$ завсарын цэгийг $\mbox{arcctg} a$ гэж тэмдэглээд арккотангенс гэнэ.

Тэгвэл $\mbox{ctg}x=a$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $$x=\mbox{arcctg} a+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$ байна. Ингэснээр, бид хялбар тэгшитгэлүүдийг бодож чаддаг боллоо.

Тэгвэл хялбар биш тэгшитгэлийг хэрхэн бодох вэ? Мэдээж, тригонометрийн адилтгал хувиргалт болон алгебрийн бусад арга, хувиргалтыг ашиглан хялбар тэгшитгэлрүү шилжүүлэх замаар бодно. Дараах жишээнүүдийг хараарай...

Жишээ 1. $\cos(-2x)=-\dfrac{\sqrt3}2$ тэгшитгэлийг бод. $(k\in\mathbb Z)$.

$y=-2x$ гэж орлуулвал $\cos y=-\dfrac{\sqrt3}2$ хялбар тэгшитгэл болно. Одоо ерөнхий шийдийг бичвэл $$y=\pm\underbrace{\arccos(-\dfrac{\sqrt3}2)}_{\dfrac{5\pi}6}+2\pi k\Rightarrow$$ $$\Rightarrow-2x=\pm\dfrac{5\pi}6+2\pi k.$$Хоёр талыг $-2$-д хуваавал $$x=\pm\dfrac{5\pi}{12}+\pi k.$$

Жишээ 2. $\sin\left(4x-\dfrac\pi3\right)=\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод. ($n\in\mathbb Z$).

Онцгой тохиолдол биш тул ерөнхий шийдээр боддогдоно. Томьёо ёсоор $$4x-\dfrac\pi3=(-1)^n\dfrac\pi6+\pi n\Rightarrow$$$$\Rightarrow 4x=(-1)^n\dfrac\pi6+\pi n+\dfrac\pi3\Rightarrow$$ $$\Rightarrow x=(-1)^n\dfrac\pi{24}+\dfrac\pi{12}+\dfrac{\pi n}4.$$

Жишээ 3. $2\sin^2x-5=-5\cos x$ тэгшитгэлийг бод. ($n\in\mathbb Z$).

$\sin^2x=1-\cos^2x$ үндсэн адилтгал ашиглан хувиргавал $$2(1-\cos^2x)-5=-5\cos x\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 2-2\cos^2x-5=-5\cos x\Rightarrow$$ $$\Rightarrow2\cos^2x-5\cos x+3=0$$ Квадрат тэгшитгэл бодвол $\cos x=1,\ \cos x=\dfrac32$ гэж гарах ба сүүлийн тэгшитгэл шийдгүй. $\cos x=1$ гэдгээс $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

Жишээ 4. $\mbox{tg} x+\mbox{ctg} x=-2$ тэгшитгэлийг бод. ($n\in\mathbb Z$).

Тодорхойлогдох муж нь $x\neq\dfrac{\pi k}2,\ k\in\mathbb Z$ юм. $\mbox{ctg}x=\dfrac1{\mbox{tg}x}$ ба $\mbox{tg}x=a$ гэж орлуулвал $$a+\dfrac1a=-2\Rightarrow$$$$\Rightarrow a^2+2a+1=0\Rightarrow$$ $$(a+1)^2=0\Rightarrow a=-1.$$ $$\mbox{tg}x=-1\Rightarrow$$$$\Rightarrow x=-\dfrac\pi4+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

Жишээ 5. $\sqrt2\sin2x-2\cos x+\sqrt2\sin x-1=0$ тэгшитгэлийн өгөгдсөн завсрууд дээрх шийдүүдийг ол.

a) $[0;\pi]$   б) $\left[-\pi; \dfrac\pi2\right]$   в) $\left[-\dfrac{3\pi}2; 2\pi\right]$

1. Дараах утгуудыг ол. $$\arcsin\dfrac12,\ \arcsin\dfrac{\sqrt2}2,\ \arcsin\dfrac{\sqrt3}2$$ $$\arccos\dfrac12,\ \arccos\dfrac{\sqrt2}2,\ \arccos\dfrac{\sqrt3}2$$ $$\arcsin(-\dfrac12),\ \arcsin(-\dfrac{\sqrt2}2),\ \arcsin(-\dfrac{\sqrt3}2)$$ $$\arccos(-\dfrac12),\ \arccos(-\dfrac{\sqrt2}2),\ \arccos(-\dfrac{\sqrt3}2)$$ $$\mbox{arctg}\sqrt3,\ \mbox{arctg}\dfrac1{\sqrt3},\ \mbox{arctg}1$$ $$\mbox{arcctg}\sqrt3,\ \mbox{arcctg}\dfrac1{\sqrt3},\ \mbox{arcctg}1$$
2. Дараах тэгшитгэлүүдийн ерөнхий шийдийг бич. $$\sin x=1,\ cos x=1,\ \sin x=-1$$ $$\cos x=-1,\ \sin x=0,\ \cos x=0$$ $$\mbox{tg} x=1,\ \mbox{tg} x=-1,\ \mbox{ctg} x=1$$ $$\mbox{ctg} x=-1,\ \mbox{tg} x=0,\ \mbox{ctg} x=0$$
3. Дараах тэгшитгэлүүдийн ерөнхий шийдийг бич. $$\sin x=\dfrac12,\ \sin x=\dfrac{\sqrt2}2,\ \sin x=\dfrac{\sqrt3}2$$ $$\sin x=-\dfrac12,\ \sin x=-\dfrac{\sqrt2}2,\ \sin x=-\dfrac{\sqrt3}2$$ $$\cos x=\dfrac12,\ \cos x=\dfrac{\sqrt2}2,\ \cos x=\dfrac{\sqrt3}2$$ $$\cos x=-\dfrac12,\ \cos x=-\dfrac{\sqrt2}2,\ \cos x=-\dfrac{\sqrt3}2$$ $$\mbox{tg} x=-\dfrac{\sqrt3}3,\ \mbox{tg} x=-{\sqrt3}$$ $$\mbox{ctg} x=\dfrac{\sqrt3}3,\ \mbox{ctg} x={\sqrt3}$$
4. Дараах тэгшитгэлүүдийг бод. $$\cos x(\cos x+1)=0$$ $$\cos^2x+\cos x=0$$ $$\mbox{ctg}^2x=1$$ $$\sin^2x=\dfrac14$$ $$\sin^2x+3\sin x+2=0$$ $$\mbox{tg}^2x+\mbox{tg} x-3=0$$
5. Дараах тэгшитгэлүүдийн өгөгдсөн завсар дахь шийдүүдийн нийбэрийг ол. $$\sin ^2x-\sin x=0,\ [-\pi;\dfrac\pi2]$$ $$\cos x(\cos x+1)=0,\ [0;\dfrac\pi2]$$ $$\cos^2x+\cos x=0,\ [-\dfrac{3\pi}2;-\pi]$$

Нэмэлт видео 1