ММО-61, II даваа I шат, C (5-6) ангилал
- Урсдаг шатаар байрандаа зогсоод буухад 54 секунд зарцуулдаг. Баяраа урсдаг шатаар 1 м/с хурдтай доошоо алхаж буухад 36 секунд зарцуулав. Баяраа урсдаг шатаар 2 м/с хурдтай доошоо алхвал хэдэн секундэд буух вэ?
- Дөрвөн оронтой тооны $ABCD$ бүх цифр ялгаатай бөгөөд тэг биш байдаг ба $\dfrac{CD}{AB}$, $\dfrac CA$, $\dfrac DB$ бутархайнууд бүхэл байдаг бол энэ тоог сайн тоо гэе. Жишээлбэл $1284$ гэсэн дөрвөн оронтой тооны бүх цифр ялгаатай, тэг биш ба $\dfrac{84}{12}=7$, $\dfrac81=8$, $\dfrac42=2$ бүхэл тул $1284$ сайн тоо. Бүх сайн тоог ол. Энд сайн тоо өөр байхгүй гэж батлах шаардлагагүй.
- $4\times4$ хүснэгт $25$ ширхэг зангилааны цэгтэй. Хүснэгтийн аль нэг нүдийг будахад тэр нүдний орой болдог дөрвөн зангилааны цэг будагддаг бол бүх зангилааны цэг ядаж нэг будагдсан байхаар хүснэгтийн нүднүүдийг хэдэн янзаар будаж болох вэ?
- Есөн ширхэг ялгаатай натурал тооны нийлбэр $111$ байв. Эдгээр дунд нийлбэр нь ядаж $61$ байдаг дөрвөн ялгаатай тоо олдоно гэж батал.
ММО-61, II даваа I шат, D (7-8) ангилал
- $1$-р машин $A$ хотоос, $2$-р машин $B$ хотоос нэгэн зэрэг өөд өөдөөсөө угталцан гарав. Машинууд тогтмол хурдтай явсан ба $A, B$ хотуудад очингуутаа шууд буцаад хөдөлж байв. $1$-р машин $2$-р машинаас $1.25$ дахин их хурдтай байв. Хоёр машин $2$ дахиа уулзсан цэгээс $3$ дахиа уулзсан цэг хүртлэх зай $56$ км байсан бол $A,B$ хотуудын хоорондох зайг ол.
- a) $a^3=b^3+61$ байдаг бүх натурал тоон $(a,b)$ хосыг ол.
b) $a^5=b^5+61$ байдаг бүх натурал тоон $(a,b)$ хосыг ол.
- $BC, AD$ талууд нь тэнцүү урттай байдаг $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгджээ. $BC=CE=DE$ байдаг $E$ цэгийг $E$ болон $A$ цэгүүд $CD$ шулууны хоёр өөр талд оршиж байхаар авав. Хэрэв $\angle BAE+\angle CBE=90^\circ$ байсан бол $\angle ABE+\angle DAE=90^\circ$ гэж батал.
- $45\times45$ хүснэгтэд $1$-ээс $2025$ хүртэлх тоог дараалсан хоёр тоо хөрш нүдэнд байрладаг байхаар бичив. Тэгвэл $1^2,2^2,...,45^2$ тоонууд нэг мөрөнд бичигдсэн байх боломжтой юу? Энд ерөнхий талтай хоёр нүдийг хөрш гэнэ.
