Дараах зурагт үзүүлснээр тэмдэглэгээ хийе.

$1,\ 2,\ 3,\ 4$-үүд нь дангаараа $4$ хэрчим болно. Бас $1+3$, $4+2$ нийлээд дахин $2$ хэрчим болно. Нийтдээ 6 хэрчим байна.

Трапецийн сууриудыг $a,\ b$; сууриудаар үүсэх гурвалжнуудын өндрийг $h_1,\ h_2$ гэж тэмдэглэе.

Тэгвэл $S_1=\dfrac{ah_1}2$ ба $S_2=\dfrac{bh_2}2$ байх бөгөөд трапецийн талбайг $$S=\dfrac{a+b}2\cdot h=\dfrac{a+b}2(h_1+h_2)$$ томьёогоор олно. Энэ томьёог цааш задлавал $$S=\dfrac{(a+b)(h_1+h_2)}2=$$ $$=\dfrac12(ah_1+bh_1+ah_2+bh_2)=$$ $$=\underbrace{\dfrac12(ah_1+bh_2)}_{S_1+S_2}+\dfrac12(bh_1+ah_2)$$ болно. $S_1$ ба $S_2$ талбайтай гурвалжнууд төсөөтэй болохыг батлах амархан бөгөөд төсөөгийн харьцаа бичвэл $$\dfrac ab=\dfrac {h_1}{h_2}\Rightarrow ah_2=bh_1$$ гэж бичиж болно. Үүнийг дээрх томьёондоо орлуулвал $$S=S_1+S_2+\dfrac12(bh_1+bh_1)=$$ $$=S_1+S_2+bh_1$$ болно. Одоо $ah_2=bh_1$ гэдгээ ашиглаад $$bh_1=\sqrt{(bh_1)^2}=\sqrt{ah_1bh_2}=$$ $$=2\sqrt{\dfrac{ah_1}2\cdot\dfrac{bh_2}2}=$$ $$=2\sqrt{S_1S_2}$$ гэж бичвэл $$S=S_1+2\sqrt{S_1S_2}+S_2=$$ $$=\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}\right)^2$$ болно. Эндээс өгөгдсөн трапецийн талбай $$S=(1+2)^2=9.$$

Шүргэгчийн тэгшитгэлийн томьёо нь $$y=\underbrace{f'(x_0)}_{\mbox{налалт}}(x-x_0)+f(x_0)$$ тул эхлээд уламжлалаа ольё. $$f'(x)=0+0.5\cdot2x=x\Rightarrow$$ $$\Rightarrow f'(x_0)=\sqrt3.$$

Энэ нь шүргэгч шулууны налалт учраас $Ox$ тэнхлэгтэй $\mbox{arctg}\sqrt3=60^\circ$ өнцөг үүсгэнэ. Шүргэгчийн тэгшитгэлийг бүтнээр нь бичвэл $$y=\sqrt3(x-\sqrt3)+6.5=$$ $$=\sqrt3x+3.5$$ болох бөгөөд энэ шулуун координатын тэнхлэгүүдийг $\left(-\dfrac{7\sqrt3}6;0\right)$ ба $\left(0;\dfrac72\right)$ цэгүүдээр дайрна. Иймд, энэ шулуун ба координатын тэнхлэгүүдээр хашигдсан гурвалжны талбай $$S=\dfrac{49\sqrt3}{24}$$ байна. Энэ гурвалжин $Oy$ тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13hS=$$ $$=\dfrac13\cdot\dfrac72\cdot\pi \dfrac{49\cdot3}{36}=\dfrac{343\pi}{72}$$ байна.