The only way to learn MATHEMATICS
is to do MATHEMATICS.
- Paul Halmos -
АЛГЕБР
Олон гишүүнт | Илтгэгч, зэрэг | Логарифм | Квадрат тэгшитгэл | Дараалал, прогресс | Комбинаторик, биномын задаргаа | Тригонометр | Уламжлал | Интеграл | Матриц | Комплекс тоо
ХАВТГАЙН ГЕОМЕТР
Гурвалжин | Тэгш өнцөгт гурвалжин | Дөрвөн өнцөгтүүд | Тойрог | Багтсан өнцөг
ОГТОРГУЙН ГЕОМЕТР
Призм | Параллелопипед | Пирамид | Цилиндр | Конус | Бөмбөрцөг | Координат, вектор
Хураангуй үржүүлэхийн 7 томьёо.
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ $$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$$ $$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$$ $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$
Зэргийн чанар. $$a^0=1$$ $$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$ $$a^m:a^n=a^{m-n}$$ $$(a^m)^n=a^{mn}$$ $$a^nb^n=(ab)^n$$ $$\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac ab\right)^n,\ b\neq0$$ $$a^{-n}=\dfrac1{a^n}$$ $$a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$$
Язгуурын чанар. $\sqrt{a^2}=|a|$ $a,b\ge0$ байхад $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\sqrt[n]b$$ $a\ge0,\ b>0$ байхад $$\sqrt[n]{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}$$ $$\sqrt[n]{\sqrt[k]a}=\sqrt[nk]a$$
Логарифмын чанарууд. $$\log_a1=0$$ $$\log_aa=1$$ $$a^{\log_ab}=b$$ $$\log_a(a^x)=x$$ $$\log_a(x\cdot y)=\log_ax+\log_ay$$ $$\log_a\dfrac xy=\log_ax-\log_ay$$ $$\log_ab^k=k\log_ab$$ $$\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_ab$$ $$\log_ab=\dfrac1{\log_ba}$$ $$\log_ab=\dfrac{\log_kb}{\log_ka}$$ $$\log_a\dfrac1b=-\log_ab$$ $$\log_{10}x=\lg x$$ $$\log_ex=\ln x$$ $$e=2.71828...$$
Ерөнхий хэлбэр нь: $ax^2+bx+c=0$. дискриминант: $D=b^2-4ac$; шийдүүд нь: $$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$$ Хэрэв $D > 0$ байвал тэгшитгэл 2 бодит шийдтэй, $D=0$ байвал тэгшитгэл 1 бодит шийдтэй, $D < 0$ байвал тэгшитгэл бодит шийдгүй.
Хэрэв квадрат тэгшитгэл $x_1,\ x_2$ гэсэн хоёр бодит шийдтэй байвал уг квадрат 3 гишүүнт дараах байдлаар үржигдэхүүн болж задарна.$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$
Арифметик прогресс. $\{a_n\}$ арифметик прогрессийн ялгавар $d$ бол $n$-р гишүүн $$a_n=a_1+d(n-1)$$ эхний $n$ гишүүний нийлбэр $$S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}2\cdot n$$ Арифметик прогрессийн хувьд $$a_n=\dfrac{a_{n-k}+a_{n+k}}2$$ чанар байдаг.
Геометр прогресс. $\{b_n\}$ геометр прогрессийн хуваарь $q$ бол $n$-р гишүүн $$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$ эхний $n$ гишүүний нийлбэр $$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$ Геометр прогрессийн хувьд $$b_n=\sqrt{b_{n-k}\cdot b_{n+k}}$$ байна.
Төгсгөлгүй буурах геометр прогресс. $0< q < 1$ байх прогрессийг төгсгөлгүй буурах геометр прогресс гэнэ. Энэ дарааллын хувьд бүх гишүүдийн нийлбэр нь: $$S=\dfrac{b_1}{1-q}\mbox{ байна.}$$
Зарим тоон дараалалын нийлбэр. $$1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}2$$ $$1+3+5+...+(2n-1)=n^2$$ $$2+4+6+...+2n=n(n+1)$$ $$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$$ $$1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=$$$$=\dfrac{n(4n^2-1)}3$$ $$1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=$$$$=\dfrac{n^2(n+1)^2}4$$ $$1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)$$
Сэлгэмэл. $P_n=n!=1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n$;
Гүйлгэмэл. $A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}$;
Хэсэглэл. $C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$;
Чанарууд. $$C_n^m=C_n^{n-m}$$ $$C_{n+1}^{m+1}=C_n^m+C_n^{m+1}$$ $$C_n^0+C_n^1+...+C_n^n=2^n$$
Ньютоны бином. $(a+b)^n=$$$=a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+...$$$$...+C_n^{n-1}ab^{n-1}+b^n.$$
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд $a,b$ ба гипотенуз $c$ бол $$\sin\alpha=\dfrac ac,\ \cos\alpha=\dfrac bc$$ $$\mbox{tg}\alpha=\dfrac ab,\ \mbox{ctg}\alpha=\dfrac ba$$
Үндсэн адилтгалууд. $$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$$ $$\mbox{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$ $$\mbox{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$ $$\mbox{tg}\alpha\cdot\mbox{ctg}\alpha=1$$ $$\mbox{tg}\alpha=\dfrac1{\mbox{ctg}\alpha}$$ $$\mbox{ctg}\alpha=\dfrac1{\mbox{tg}\alpha}$$ $$1+\mbox{ctg}^2\alpha=\dfrac1{\sin^2\alpha}$$ $$1+\mbox{tg}^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}$$
Нийлбэр өнцгийн томьёонууд. $$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$ $$\mbox{tg}(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\mbox{tg}\alpha\pm\mbox{tg}\beta}{1\mp\mbox{tg}\alpha\mbox{tg}\beta}$$ $$\mbox{ctg}(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\mbox{ctg}\alpha\mbox{ctg}\beta\mp1}{\mbox{ctg}\beta\pm\mbox{ctg}\alpha}$$
Давхар өнцгийн томьёонууд. $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$ $$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=$$$$=2\cos^2\alpha-1=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$ $$\mbox{tg}2\alpha=\dfrac{2\mbox{tg}\alpha}{1-\mbox{tg}^2\alpha}$$ $$\mbox{ctg}2\alpha=\dfrac{\mbox{ctg}^2\alpha-1}{2\mbox{ctg}\alpha}$$ $$\cos2\alpha=\dfrac{1-\mbox{tg}^2\alpha}{1+\mbox{tg}^2\alpha}$$ $$\sin2\alpha=\dfrac{2\mbox{tg}\alpha}{1+\mbox{tg}^2\alpha},\ \alpha\neq\pi+2\pi k, k\in\mathbb Z$$
Тригонометр функцийн нийлбэр. $$\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha\pm\beta}2\cos\dfrac{\alpha\mp\beta}2$$ $$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}2\cos\dfrac{\alpha-\beta}2$$ $$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2\sin\dfrac{\alpha-\beta}2$$ $$\mbox{tg}\alpha\pm\mbox{tg}\beta=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$$ $$\mbox{ctg}\alpha\pm\mbox{ctg}\beta=\pm\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}$$
Тригонометр функцийн үржвэр. $$\cos\alpha\cdot\cos\beta=\dfrac12(\cos(x-y)+\cos(x+y))$$ $$\sin\alpha\cdot\sin\beta=\dfrac12(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$$ $$\sin\alpha\cdot\cos\beta=\dfrac12(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \mbox{градус}&\mbox{радиан}&\qquad\sin\alpha\qquad&\qquad\cos\alpha\qquad&\qquad\mbox{tg}\alpha\qquad&\qquad\mbox{ctg}\alpha\qquad\\ \hline 0^o&0&0&1&0&\emptyset\\ \hline 30^o&\dfrac\pi6&\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}2&\dfrac1{\sqrt3}&\sqrt3\\ \hline 45^o&\dfrac\pi4&\dfrac1{\sqrt2}&\dfrac1{\sqrt2}&1&1\\ \hline 60^o& \dfrac\pi3&\dfrac{\sqrt3}2&\dfrac12&\sqrt3&\dfrac1{\sqrt3}\\ \hline 90^o&\dfrac\pi2&1&0&\emptyset&0\\ \hline \end{array}$$
Тригонометрийн урвуу фунцк. $-1\le a\le1$ үед $$-\dfrac\pi2\le\arcsin a\le\dfrac\pi2\qquad 0\le\arccos a\le\pi$$ $$-\dfrac\pi2<\mbox{arctg}a<\dfrac\pi2\qquad0<\mbox{arcctg}a<\pi$$ $$\arccos a=\pi-\arccos(-a)=$$$$=\dfrac\pi2-\arcsin a=\mbox{arctg}\dfrac a{\sqrt{1-a^2}}$$ $$\mbox{arctg}a=-\mbox{arctg}(-a)=$$$$=\dfrac\pi2-\mbox{arcctg}a=\arcsin\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}$$
$f(x)$ функцийн $x_0$ цэг дээрх уламжлал $$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
Уламжлал бодох дүрмүүд. $f,g$ - дифференциалчлагдах функцүүд бол $$(f\pm g)'=f'\pm g'$$ $$(f\cdot g)'=f'g+fg'$$ $$\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$$
Давхар функцийн уламжлал. $$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Элементар функцүүдийн уламжлал.
$$\begin{array}{c|c} \qquad f(x)\qquad&\qquad f'(x)\qquad \\ \hline c&0\\ x&1\\ x^n&nx^{n-1}\\ a^x&a^x\ln a\\ e^x&e^x\\ \sqrt x&\dfrac1{2\sqrt x}\\ \log_ax&\dfrac1{x\ln a}\\ \lg x&\dfrac1x\lg e\\ \sin x&\cos x\\ \cos x&-\sin x\\ \mbox{tg} x&\dfrac1{\cos^2x}\\ \mbox{ctg} x&-\dfrac1{\sin^2x}\\ \arcsin x&\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\ \arccos x&-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\ \mbox{arctg} x&\dfrac1{1+x^2}\\ \mbox{arcctg} x&-\dfrac1{1+x^2}\\ \ln x&\dfrac1x\\ \sec x&\sec x\mbox{tg} x\\ \mbox{cosec}x&-\mbox{cosec}x\cdot\mbox{ctg} x\\ \hline \end{array} $$
Шүргэгчийн тэгшитгэл. $f(x)$ функцийн $(x_0,y_0)$ координаттай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Хэрэв $F'(x)=f(x)$ бол $F(x)$ нь $f(x)$-ийн эх функц байна.
Тодорхой бус интегралын чанарууд. $$\int f(x)dx=\int f(x)dx+c$$ $$a\int f(x)dx=\int a f(x)dx=\int f(x)d(ax)$$ $$\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx$$ $$\int f(x)g'(x)dx=\int f(x)dg(x)$$
Үндсэн интегралууд.
Орлуулах арга. $$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(g(x))d g(x)$$
Хэсэгчлэх арга. $$\int\limits f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx$$
Тодорхой интегралын чанарууд.$$\int\limits_a^b(f(x)+g(x))dx=\int\limits_a^bf(x)dx+\int\limits_a^bg(x)dx;$$ $$\int\limits_a^bkf(x)dx=k\int\limits_a^bf(x)dx$$ $$\int\limits_a^af(x)dx=0$$ $$\int\limits_a^bf(x)dx=-\int\limits_b^af(x)dx$$ $$\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)dx$$
Ньютон Лейбницын томьёо. $$\int\limits_a^bf(x)=F(b)-F(a)$$
Эргэлтийн биеийн гадаргуугийн талбай. $f(x)$ функцийн $[a,b]$ завсар дахь график $Ox$ тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүсэх биетийн гадаргуугийн талбай $$S=2\pi\int\limits_a^bf(x)\sqrt{(1+f'(x))^2}dx$$
Эргэлтийн биеийн эзлэхүүн. $f(x)$ функцийн $[a,b]$ завсар дахь график $Ox$ тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн $$V=\pi\int\limits_a^bf^2(x)dx$$
Хоёр хэмжээст матрицын тодорхойлогч. $$\begin{array}{|cc|} a_1& b_1\\ a_2&b_2\end{array}=a_1b_2-a_2b_1$$
Гурав хэмжээст матрицын тодорхойлогч.
$\begin{array}{|ccc|}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}=$$$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-$$
$$-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$$
$n$ хэмжээст матрицын $i$-р мөр ба $j$-р баганы бүх элементүүд дарахад үүсэх $n-1$ хэмжээст матрицын тодорхойлогчийг $a_{ij}$ элементийн минор гээд $M_{ij}$ гэж тэмдэглэнэ.
$n$--хэмжээст матрицын тодорхойлогч.$$\det A=\sum\limits_{i,j=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$$
Энэ томьёог ашиглан матрицыг хэмжээсийг бууруулах зарчмаар тодорхойлогчийг олно.
Хоёр хэмжээст матрицын тодорхойлогчийн чанарууд.
$$\begin{array}{|cc|} a_1& b_1\\ a_2&b_2\end{array}=\begin{array}{|cc|} a_1& a_2\\ b_1&b_2\end{array}\qquad\begin{array}{|cc|} a_1& b_1\\ a_2&b_2\end{array}=-\begin{array}{|cc|} a_2& b_2\\ a_1&b_1\end{array}$$
$$\begin{array}{|cc|} a_1& a_1\\ a_2&a_2\end{array}=0\qquad \begin{array}{|cc|} ka_1& kb_1\\ a_2&b_2\end{array}=k\begin{array}{|cc|} a_1& b_1\\ a_2&b_2\end{array}$$
$$\begin{array}{|cc|} a_1+kb_1& b_1\\ a_2+kb_2&b_2\end{array}=\begin{array}{|cc|} a_1& b_1\\ a_2&b_2\end{array}$$
Матрицуудын нэмэх үйлдэл.
$A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right)\qquad B=\left(\begin{array}{ccc} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}\right)$
$$A+B=\left(\begin{array}{ccc} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\
a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\ a_{31}+b_{31}&a_{32}+b_{32}&a_{33}+b_{33}\end{array}\right)$$
Матрицуудын үржих үйлдэл.
$A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right)\qquad B=\left(\begin{array}{cc} b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{array}\right)$
$$AB=C=\left(\begin{array}{cc}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{array}\right),\ c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}$$
$A\cdot A^{T}=1$ байх $A^{T}$ матрицыг урвуу матриц гэнэ.
Ерөнхий хэлбэр. $z=a+bi,\ a,b\in\mathbb R$.
$z_1=a_1+b_1i,\ z_2=a_2+b_2i$ тоонуудын хувьд
$$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$$
$$z_1z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$$
Комплекс тооны модуль. $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
Комплекс тооны тригонометр хэлбэр. $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$
Эйлерын томьёо. $$e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$$
Комплекс тоог зэрэг дэвшүүлэх.
$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$$
$\triangle ABC$-ны хувьд дотоод өнцгүүд $ \alpha,\beta,\gamma $ бол $\alpha+\beta+\gamma=180^{0} $ байна;
Гадаад өнцөг нь эсрэг орших дотоод өнцгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү $ \delta=\alpha+\beta $;
Косинусын теором. $$ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta $$
Синусын теором. $$ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\beta}=2R $$ Энд $R$-нь багтаасан тойргийн радиус.
Талбай олох томьёонууд. Хагас периметр нь $ p=\frac{a+b+c}{2} $.
$$S=\frac{1}{2}ah_{a} $$
$$ S=\frac{1}{2}ac\sin\beta $$
$$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
Багтаасан тойргийн төв нь талуудын дунджаас босгосон перпендикуляруудын огтлолцсон цэг юм. $ R=\dfrac{abc}{4S} $;
Багтсан тойргийн төв нь биссектрисүүдийн огтлолцсон цэг юм. $ r=\dfrac{2S}{a+b+c} $;
Медианы чанар.
Медианууд нэг цэгт огтлолцох бөгөөд уул цэгээрээ $2:1$ харьцаатай хуваагдана.
Медианы урт $$ m_{0}=\frac{1}{2} \sqrt{2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}$$
Биссектрисийн чанар. Биссектрис $a$ талыг $b_1,c_1$ урттай хэсгүүдэд хуваадаг бол $$\dfrac{b_{1}}{c_{1}}=\dfrac{b}{c}\mbox{ байна.}$$
Биссектрисийн урт. $$l_{a}=\sqrt{bc-b_{1}c_{1}} ,\qquad l_{a}=\dfrac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}$$
Өндрүүдийн чанар. Өндрүүдийн хувьд $h_{a}:h_{b}:h_{c}=\dfrac{1}{a}:\dfrac{1}{b}:\dfrac{1}{c}$; $ \dfrac{1}{h_{a}}+\dfrac{1}{h_{b}}+\dfrac{1}{h_{c}}=\dfrac{1}{r} $, $r$-багтаасан тойргийн радиус.
$a,b$ - катет, $c$ - гипотенуз.
Пифагорын теором.
$$ c^{2}=a^{2}+b^{2} $$
Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай. $S=\dfrac{ab}{2} $;
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузад буусан өндөр. $ h_c=\dfrac{ab}{c}$;
Хэрэв $\beta=30^\circ $ бол $ c=2a $.
Багтсан тойргийн радиус. $ r=\dfrac{ab}{a+b+c}; r=\dfrac{a+b-c}{2} $;
Багтаасан тойргийн радиус. $ R=\dfrac{c}{2} $.
Дурын дөрвөн өнцөгтийн хувьд талбай нь $$ S=\dfrac{d_{1}d_{2}\sin\varphi}{2} $$ Энд, $d_1,d_2$ - диагоналиуд, $\varphi$ -- диагоналиудын хоорондох өнцөг.
Тойргийг багтаасан дөрвөн өнцөгт. $$ a+c=b+d $$ $$ S=\dfrac{a+b+c+d}{2}\cdot r $$
Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгт. Эсрэг орших өнцгүүдийн нийлбэр тэнцүү ($180^\circ$) байна.
$$ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$ энд $p=\dfrac{a+b+c+d}{2}$;
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Параллелограммын талбай олох томьёонууд. $$4S=ah_{1}=bh_{2} $$
$$ S=ab\sin\alpha $$
$$ S=\dfrac{d_{1}d_{2}\sin\alpha}{2} $$
$h_1,h_2$ нь харгалзан $a,b$ талуудад буусан өндрүүд, $\alpha$ - талуудын хоорондох өнцөг.
РОМБО
$h$ - өндөр, $ d_{1},\ d_{2} $ - диагоналиуд, $r$--багтсан тойргийн радиус, $\alpha$--талуудын хоорондох өнцөг бол
$$r=\dfrac{h}{2}=\dfrac{d_{1}d_{2}}{4a} $$
$$S=\dfrac{d_{1}d_{2}}{2}$$
$$S=ah=2ar=a^{2}\sin\alpha $$
ТЭГШ ӨНЦӨГТ
Тэгш өнцөгтийн талбай. $$S=ab=\dfrac{d^{2}\sin\varphi}{2} $$ $d$ - диагональ, $\varphi$ - диагоналиудын хоорондох өнцөг.
ТРАПЕЦ
$h$ - өндөр, $ d_{1},\ d_{2}$ - диагоналиуд, $a,b$ - сууриуд, $\varphi$ - диагоналиудын хоорондох өнцөг.
Дундаж шугам.
$$ l=\dfrac{a+b}{2}$$
Талбай. $$S=\dfrac12\cdot l\cdot h=\dfrac{d_{1}d_{2}\sin\varphi}{2} $$
Тойргийн радиус $R$ бол тойргийн урт $l=2\pi R $, Дугуйн талбай $ S=\pi R^{2} $ байна.
Багтсан өнцөг нь тулсан нумын хагастай тэнцүү;
Нэг нумд тулсан өнцгүүд өөр хоорондоо тэнцүү байна;
Диаметрт тулсан өнцгүүд тэгш ($90^\circ$) байна.
$S_{\mbox{г}}$ - гүйцэд (бүтэн) гадаргуугийн талбай, $S_{\mbox{с}}$ - суурийн гадаргуугийн талбай, $S_{\mbox{х}}$ - хажуу гадаргуугийн талбай, $V$ - эзлэхүүн, $h$ - өндөр.
Шулуун призмийн хажуу гадаргуу. $$ S_{x}=h\cdot p $$
Шулуун призмийн гүйцэд гадаргуу.
$$S_{\mbox{г}}=2\cdot S_{c}+h\cdot p=2\cdot S_{c}+S_{x} $$
Эзлэхүүн. $$V=h\cdot S_{\mbox{с}} $$
Гол диагоналийн урт.
$$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2} $$
Эзлэхүүн. $ V=a\cdot b\cdot c $;
Бүтэн гадаргуугийн талбай.$$S_{\mbox{г}}=2(ab+bc+ac) $$
Зөв пирамидын хажуу гадаргуу. $$S_{\mbox{х}}=\dfrac{1}{2}l\cdot p $$
Зөв пирамидын эзэлхүүн. $$V=\dfrac{1}{3}S_{\mbox{с}}\cdot h $$
Огтлогдсон зөв пирамидын хажуу гадаргуу. $$S_{\mbox{х}}=\dfrac{n}{2}(a+b)\cdot l $$
Огтлогдсон пирамидын эзэлхүүн. $$V=\dfrac{1}{3}h(Q_{1}+\sqrt{Q_{1}\cdot Q_{2}}+Q_{2}) $$энд
$l$ - апофем (зөв пирамидын хажуу талсууд нь хоорондоо тэнцүү адил хажуут гурвалжинууд байна.
Эдгээр гурвалжны оройгоос буулгасан өндрийг нь зөв пирамидын апофем гэнэ), $p$ - суурийн периметр, $h$ - өндөр, $a,b$ нь дээд доод суурийн зөв олон өнцөгтийн талын урт; $n$ - тэдгээрийн талын тоо; $Q_{1},Q_{2}$ - огтлогдсон пирамидын суурийн талбайнууд.
Хажуу гадаргуугийн талбай.$$S_{\mbox{х}}=2\pi\cdot r\cdot h $$
Бүтэн гадаргуугийн талбай.$$S_{\mbox{г}}=2\pi\cdot r\cdot h+2\pi\cdot r^{2} $$
Эзлэхүүн.$$V=\pi\cdot r^{2}\cdot h $$ $r$ - цилиндрийн суурийн радиус.
Хажуу гадаргуугийн талбай.$$ S_{\mbox{х}}=\pi\cdot R\cdot l $$
Бүтэн гадаргуугийн талбай. $$ S_{\mbox{г}}=\pi\cdot R\cdot l+\pi\cdot R^{2}$$
Эзлэхүүн. $$ V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot R^{2}\cdot h $$, $l$ - байгуулагч, $h$ - өндөр, $R$ - суурийн радиус.
Огтлогдсон конус:
Хажуу гадаргуугийн талбай. $$ S_{\mbox{х}}=\pi\cdot (R+r)\cdot l $$
Бүтэн гадаргуугийн талбай. $$ S_{\mbox{г}}=\pi\cdot (R^{2}+r^{2})+\pi\cdot(R+r)\cdot l $$
Эзлэхүүн. $$ V=\dfrac{1}{3}\pi h(R^{2}+Rr+r^{2}) $$ $r$--огтлогдсон хэсгийн радиус.
Бүтэн гадаргуугийн талбай. $$S=4\pi\cdot R^{2} $$
Эзлэхүүн. $$V= \dfrac{4}{3}\pi\cdot R^{3} $$ $R$-бөмбөрцгийн радиус.
сегментийн гадаргуу. $$S=2\pi r H$$
Сегментийн эзлэхүүн. $$V=\dfrac{1}{3}\pi H^{2}(3r-H)$$ $H$ - сегментийн өндөр; $r$ - сегментийн радиус.
Секторын эзэлхүүн. $$ V=\dfrac{2}{3}\pi R^{2}H $$
ТЭГШ ӨНЦӨГТ КООРДИНАТЫН СИСТЕМ
Цэгүүдийн хоорондох зай. $ A(x_{1};y_{1}) $ ба $ B(x_{2};y_{2}) $ цэгүүд хоорондох зай
$$|AB|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$
$A(x_{1};y_{1}) $ ба $ B(x_{2};y_{2}) $ төгсгөл бүхий хэрчмийн дундаж цэгийн координат $(x;y)$ нь $$x=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\qquad y=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2} $$
$(x_1,y_1),\ (x_2,y_2)$ цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл $$\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}$$
$(x_{0};y_{0})$ цэгт төвтэй $R$-радиустай тойргийн тэгшитгэл $$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}$$
$ A(x_{1};y_{1}) $ цэгт эхлэлтэй $ B(x_{2};y_{2})$ цэгт төгсгөлтэй векторын координат нь $$\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1}) $$
Векторын урт нь $$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$
ВЕКТОРУУД ДЭЭРХ ҮЙЛДЭЛ
Векторуудын нийлбэр. $\overrightarrow{a}=(a_{1};a_{2})$, $\overrightarrow{b}=(b_{1};b_{2})$ ба $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ бол $$\overrightarrow{c}=(a_1+a_2;b_1+b_2)$$
Векторуудыг $ \lambda$ тоогоор үржүүлэх. $$\lambda(\overrightarrow{a_{1};a_{2}})=(\overrightarrow{\lambda a_{1};\lambda a_{2}}) $$
$\overrightarrow{a}$ ба $\overrightarrow{b}$ векторуудын скаляр үржвэр. $$ (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos\varphi $$
Энд $\varphi$ нь $\overrightarrow{a}$ ба $\overrightarrow{b}$ ийн хоорондох өнцөг
Хэрэв $ \overrightarrow{a}=(a_{1};a_{2}); \overrightarrow{b}=(b_{1};b_{2})$ координаттай бол
$$ (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2} $$
Векторуудын хоорондох өнцөг.
$ \overrightarrow{a}(a_{1};a_{2})$ ба $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2})$ векторуудын хоорондох өнцгийн косинус
$$\cos\varphi=\dfrac{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\dfrac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}.$$
Векторуудын перпендикуляр байх гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл.
$ \overrightarrow{a}(a_{1};a_{2})$ ба $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2})$ векторууд перпендикуляр байх гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
$$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0\mbox{ буюу } a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=0.$$
